Η χρυσή τομή

Η χρυσή τομή είναι ένα σύστημα αναλογιών, που χρησιμοποιείται για την άρτια δόμηση μιας σύνθεσης. Ονομάζεται επίσης και χρυσός λόγος, χρυσός κανόνας, χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία. Στον Ευκλείδη αναφέρεται ο όρος "άκρος και μέσος λόγος". Ο υπολογισμός της χρυσής τομής βασίζεται στην αναλογική σχέση 8:13 και στη χρήση του αριθμού φ=1,618.
Τα στοιχεία αυτά είναι γνωστά από την αρχαιότητα και η συνεχόμενη παρουσία τους σε φυσικές και καλλιτεχνικές εκφράσεις, τους έχουν χαρίσει έναν θεϊκό σχεδόν χαρακτήρα. Εφαρμόστηκαν από τους Έλληνες γλύπτες και αρχιτέκτονες Φειδία και Ικτίνο, από καλλιτέχνες όπως ο Λεονάρντο ντα Βίντσι και Μιχαήλ Άγγελος και απασχόλησαν μαθηματικούς όπως ο Ευκλείδης, ο Φιμπονάτσι κ.ά. Η πιο γνωστή απεικόνιση της χρυσής τομής υλοποιείται σχεδιαστικά με τη σχέση ενός τετραγώνου και ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου. Η λογική αυτού του σχεδιασμού στηρίζεται αρχικά, στη δημιουργία ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου το οποίο στη συνέχεια χωρίζεται εσωτερικά, σε ένα τετράγωνο και ένα μικρότερο παραλληλόγραμμο. Χωρίζοντας κάθε νέο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με τον ίδιο τρόπο, παράγεται η ίδια σχέση ξανά και ξανά σε μικρότερες κλίμακες. Ενώνοντας τις γωνίες των τετραγώνων με κυκλικά τόξα αποκαλύπτεται μαγικά μια καμπύλη η “λογαριθμική σπείρα”. Εκτός από τη δημιουργία του γνωστού, πλέον, ορθογωνίου η χρυσή τομή στα μαθηματικά και στην τέχνη εφαρμόζεται και σε άλλα σχήματα όπως το πεντάγωνο, το ισοσκελές ή ορθογώνιο τρίγωνο, το πεντάγωνο αστέρι και τα πολύεδρα. Η εφαρμογή της χρυσής αναλογίας δεν σταματά εκεί. Είναι παρούσα παντού γύρω μας, από το όστρακο των ναυτίλων, το σχήμα των γαλαξιών μέχρι και τη διάταξη και το πλήθος των πετάλων μιας μαργαρίτας. 

Ο χρυσός αριθμός
Ο χρυσός αριθμός, που αναπαρίσταται με το γράμμα Φ, καλύπτει έναν ευρύτατο χώρο αριθμητικών σχέσεων και ιδιοτήτων καθώς και ανύποπτων συσχετισμών ανάμεσα στη φύση και στους ανθρώπους. Η εφαρμογή του έχει πολλαπλές όψεις στην επιστήμη, στην τέχνη αλλά και στην μορφολογία ζώων και φυτών. Είναι αξιοθαύμαστη η ανεξάντλητη ικανότητα της χρυσής αναλογίας να παράγει σχήματα ασύλληπτης ομορφιάς και εκπληκτικών ιδιοτήτων όπως ορθογώνια πολύγωνα ή τα κανονικά πολύγωνα αλλά προκαλεί κατάπληξη η σχέση του θείου αριθμού με περίπλοκες και αμφιλεγόμενες έννοιες όπως η ομορφιά και η τελειότητα.
Στα Μαθηματικά και την τέχνη, δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Ο κανόνας αυτός αν αποδοθεί αλγεβρικά θα είναι:

Το γράμμα "φ" αντιπροσωπεύει την χρυσή τομή. Η απόδοση του εν λόγω αριθμού με χαρακτήρες θα ήταν αδύνατη, επειδή αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων τα οποία δεν ακολουθούν κανένα πρότυπο. Έτσι ο χρυσός αριθμός γίνεται πιο εύκολα διαχειρίσιμος με την παρακάτω μορφή: 

Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία—ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι η χρυσή τομή—πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά άρτια. Οι μαθηματικοί από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν μελετήσει τις ιδιότητες της χρυσής τομής, συμπεριλαμβανομένης της εμφάνισης της στις διαστάσεις ενός κανονικού πενταγώνου. Η αιτία όλης αυτής της μελέτης δεν είναι απλώς η ανθρώπινη ιδιοτροπία αλλά έχει ως στόχο την ανάδειξη της ιδεώδους ομορφιάς. Η ίδια η φύση χαρίζει στον «φ» έναν ειδικό ρόλο, προσδίδοντας τις ιδανικές αναλογίες σε κάποιες μορφές ή και σε ολόκληρη τη σύνθεση. 

O Μαθηματικός Mark Barr πρότεινε να χρησιμοποιείται το πρώτο γράμμα από το όνομα του γλύπτη Φειδία για τον συμβολισμό της χρυσής τομής. Γιατί όπως λέγεται ήταν από τους πρώτους που υιοθέτησε αυτή την αναλογική σχέση στα έργα του. Συνήθως χρησιμοποιείται το πεζό γράμμα φ ενώ κάποιες φορές το αντίστοιχο κεφαλαίο Φ συμβολίζει το αντίστροφο της χρυσής τομής 1/φ. Σπάνια όμως χρησιμοποιείται και το γράμμα τ το αρχικό γράμμα της λέξης τομή.


Δημιουργία του χρυσού ορθογωνίου
και της λογαριθμικής σπείρας

Για τη δημιουργία ενός χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου καθώς και του αντίστοιχου λογαριθμικού σπειρώματος ακολουθείτε τα παρακάτω βήματα:

(1) Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που το μέγεθος της μεγάλης πλευράς να ισούται με το γινόμενο της μικρής επί το 1,618. 

(2) Στη συνέχεια, στο παραλληλόγραμμο που προκύπτει, δημιουργήστε εσωτερικά, ένα τετράγωνο, με όψη ίση με τη μικρή πλευρά του παραλληλογράμμου. Μετά τον σχεδιασμό του τετραγώνου, προκύπτει και ένα μικρότερο παραλληλόγραμμο.

(3) Χωρίζοντας κάθε νέο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με τον ίδιο τρόπο παράγεται η ίδια σχέση σε μικρότερα μεγέθη. 

(4) Για να σχεδιάσετε την “λογαριθμική σπείρα” ενώνετε τις δύο απέναντι γωνίες κάθε τετραγώνου με ένα κυκλικό τόξο. Ο σχεδιασμός του τόξου γίνεται με κέντρο την απέναντι (από το ζεύγος γωνιών του τόξου) κάθε φορά κορυφή και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου.

Χρονολόγιο
Χρονολόγιο σύμφωνα με τον Priya Hemenway:

Φειδίας (490–430 π.Χ.) έφτιαξε τα αγάλματα του Παρθενώνα τα οποία φαίνεται να ενσωματώνουν την χρυσή αναλογία.

Πλάτων (427–347 π.Χ.), στον Τίμαιο, περιγράφει τα πέντε Πλατωνικά στερεά: το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο, και το εικοσάεδρο), κάποια από τα οποία σχετίζονται με την χρυσή τομή.

Ευκλείδης o Αλεξανδρεύς (325–265 π.Χ.), στα Στοιχεία, έδωσε τον πρώτο γραπτό ορισμό της χρυσής τομής, την οποία ονόμασε "ἄκρος καὶ μέσος λόγος"

Leonardo Pizano (Fibonacci, 1170–1250) στο βιβλίο του El Liber Abaci ανέφερε για την ακολουθία αριθμών που τώρα φέρει το όνομα του, ότι ο λόγος διαδοχικών στοιχείων της ακολουθίας Φιμπονάτσι προσεγγίζει ασυμπτωτικά τη χρυσή τομή.

Luca Pacioli (Λούκα Πατσιόλι, 1445–1517) στο ομώνυμο έργο του Divina Proportione καθορίζει τη χρυσή τομή ως "Θεϊκή αναλογία".

Michael Maestlin (Μίχαελ Μαίστλιν, 1550–1631) δημοσιεύει την πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα.

Johannes Kepler (Γιοχάνες Κέπλερ, 1571–1630) αποδεικνύει ότι η χρυσή τομή είναι το όριο της ακολουθίας των λόγων διαδοχικών όρων της ακολουθίας Φιμπονάτσι, και την περιγράφει ως "πολύτιμο κόσμημα". "Η Γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς: ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και ο άλλος η τμήση μιας ευθείας σε άκρο και μέσο λόγο· τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με χρυσό, τον δεύτερο με ένα πολύτιμο κόσμημα." οι δύο αυτοί θησαυροί συνδυάζονται στο Τρίγωνο του Κέπλερ.

Charles Bonnet (1720–1793) επισημαίνει ότι στη φυλλοταξία φυτών που πηγαίνουν με την φορά των δεικτών του ρολογιού και αντίστροφα υπήρχαν συχνά δύο διαδοχικές ακολουθίες Φιμπονάτσι.

Martin Ohm (1792–1872) πιστεύεται ότι είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο goldener Schnitt (χρυσή τομή) για να περιγράψει αυτό το λόγο, το 1835.

Édouard Lucas (1842–1891) δίνει στην ακολουθία το σημερινό της όνομα.

Mark Barr (20ος αιώνας) προτείνει το ελληνικό γράμμα φ, το πρώτο γράμμα του γλύπτη Φειδία για τον συμβολισμό της χρυσής τομής.

Roger Penrose (Ρότζερ Πένροουζ, γεν. 1931) ανακάλυψε ένα συμμετρικό μοτίβο που χρησιμοποιεί τη χρυσή τομή στο πεδίο των απεριοδικών πλακοστρώσεων. 

Σχετικά άρθρα

• Η ακολουθία Fibonacci
• Εφαρμογές των Χρυσών Αναλογιών και της Λογαριθμικής Σπείρας
• GR Design. Τεύχος 3. "Η Χρυσή Τομή" 

Πηγές

• Η χρυσή τομή, Fernando Corbalan, Τέσσερα Πι, 2011
• The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, H. E. Huntley, New York, 1970
• The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number, Mario Livio, 2003